线性代数与空间解析几何课后答案（线性代数与空间解析几何课后答案）

线性代数与空间解析几何是数学中的重要分支，它们涉及向量、矩阵、线性变换等概念和方法。通过学习这门课程，我们可以理解向量空间、解析几何以及它们在实际问题中的应用。以下是我对课后习题的解答。

第一题：向量的加法与减法

解答：设向量 $\\mathbf{a} = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -1 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$，$\\mathbf{b} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 4 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$。则向量 $\\mathbf{a}$ 与 $\\mathbf{b}$ 的和为 $\\mathbf{a} + \\mathbf{b} = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -1 \\\\ 3 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 4 \\\\ 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 3 \\\\ 4 \\end{pmatrix}$；差为 $\\mathbf{a} - \\mathbf{b} = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -1 \\\\ 3 \\end{pmatrix} - \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 4 \\\\ 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ -5 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$。

第二题：矩阵的乘法

解答：设矩阵 $\\mathbf{A} = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\end{pmatrix}$，$\\mathbf{B} = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$。则矩阵 $\\mathbf{A}$ 与向量 $\\mathbf{B}$ 的乘积为 $\\mathbf{A} \\mathbf{B} = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\cdot (-1) + 2 \\cdot 2 \\\\ 3 \\cdot (-1) + 4 \\cdot 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 5 \\end{pmatrix}$。

第三题：线性方程组的解

解答：考虑线性方程组$$\\begin{cases}2x + y = 3 \\\\-3x + 2y = -1\\end{cases}$$可将其写成增广矩阵的形式$$\\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\\\-3 & 2 & -1\\end{pmatrix}$$利用高斯消元法，经过一系列的行变换，将增广矩阵化为行阶梯形$$\\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\\\0 & 1 & 1\\end{pmatrix}$$从中可以得出方程的解为 $x = 2$，$y = 1$。

第四题：向量空间的维数

解答：对于向量组 $\\mathbf{v}_1 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 0 \\end{pmatrix}$，$\\mathbf{v}_2 = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$，$\\mathbf{v}_3 = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ -1 \\end{pmatrix}$，我们需要确定它们所张成的向量空间的维数。

通过对向量组进行线性组合，我们得到$$a_1 \\mathbf{v}_1 + a_2 \\mathbf{v}_2 + a_3 \\mathbf{v}_3 = \\begin{pmatrix} a_1 - a_2 + 2a_3 \\\\ 2a_1 + 3a_2 + a_3 \\\\ a_2 - a_3 \\end{pmatrix}$$

令上式等于零向量，我们得到方程组$$\\begin{cases}a_1 - a_2 + 2a_3 = 0 \\\\2a_1 + 3a_2 + a_3 = 0 \\\\a_2 - a_3 = 0\\end{cases}$$

经过高斯消元法，将系数矩阵化为行阶梯形，得到$$\\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\\\0 & 1 & -1 \\\\0 & 0 & 0\\end{pmatrix}$$

可以看出，第三行是前两行的线性组合，因此方程组有无穷多解，所以向量组所张成的向量空间的维数为2。

通过以上的解答，我们对线性代数与空间解析几何的知识有了更深入的了解。这些知识和方法在科学和工程中具有广泛的应用价值，是我们探索自然和解决实际问题的重要工具。