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数学练习册答案（数学练习册答案参考）

2023-10-24 15:21:08 投稿人 : 双枪 围观 :次 0 评论

数学练习册答案参考

一元二次方程

题目一

已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像和直线$y=k$($a>0$，$k 解答： 设两个交点分别为$P(x_1,y_1)$和$Q(x_2,y_2)$。由韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\\frac{c-k}{a}$
将$x_1$和$x_2$代入$f(x)$得：
$y_1=y_2=k=a(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)+b(x_1+x_2)+c$
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$可得：
$y_1=y_2=k=a\\left(x_1+\\frac{c-k}{a}\\right)^2+b\\left(-\\frac{b}{a}\\right)+c$
展开可得：
$y_1=y_2=k=a\\left(x_1^2+\\frac{2(c-k)}{a}x_1+\\frac{(c-k)^2}{a^2}\\right)-\\frac{b^2}{a}+c$
由于$y_1=y_2$，故有：
$a(x_1-x_2)^2=0$
所以$x_1=x_2$，代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$可得：
$x_1=-\\frac{b}{2a}$，$k=a\\left(\\frac{(c-k)^2}{a^2}\\right)-\\frac{b^2}{4a}+c$
整理可得：
$a=\\frac{4k-4c+b^2}{4(c-k)},b=\\frac{-2b}{4(c-k)},c=\\frac{k}{4(c-k)}$
所以$f(x)=\\frac{4k-4c+b^2}{4(c-k)}x^2+\\frac{-2b}{4(c-k)}x+\\frac{k}{4(c-k)}$

题目二

设$ax^2+bx+c$($a\ eq0$)的两根为$x_1,x_2$，其和为$p$，其积为$q$，求$a,b,c$。
解答： 由韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\\frac{c}{a}$
由$p=x_1+x_2$和$q=x_1x_2$可得：
$x_1=\\frac{p+\\sqrt{p^2-4q}}{2}$，$x_2=\\frac{p-\\sqrt{p^2-4q}}{2}$
将$x_1$和$x_2$代入$a(x-x_1)(x-x_2)=0$得：
$a[(x-\\frac{p+\\sqrt{p^2-4q}}{2})(x-\\frac{p-\\sqrt{p^2-4q}}{2})]=0$
化简可得：
$a(x^2-2px+p^2-4q)=0$
所以$a=1$，$b=-2p$，$c=p^2-4q$

平面向量

题目一

已知$\\overrightarrow{a}=2\\overrightarrow{i}+4\\overrightarrow{j}$，$\\overrightarrow{b}=-\\overrightarrow{i}+3\\overrightarrow{j}$，$\\overrightarrow{c}=\\alpha\\overrightarrow{i}+\\beta\\overrightarrow{j}$，其中$\\angle\\overrightarrow{a}\\overrightarrow{b}=\\frac{\\pi}{4}$，$\\overrightarrow{c}$与$\\overrightarrow{a}$的夹角为$120^{\\circ}$，求$\\alpha,\\beta$。
解答： 由于$\\overrightarrow{a}\\cdot\\overrightarrow{b}=|\\overrightarrow{a}||\\overrightarrow{b}|\\cos\\frac{\\pi}{4}$，所以$\\overrightarrow{a}\\cdot\\overrightarrow{b}=2\\sqrt{2}+6$。
由于$\\overrightarrow{c}\\cdot\\overrightarrow{a}=|\\overrightarrow{c}||\\overrightarrow{a}|\\cos120^{\\circ}$，所以$\\overrightarrow{c}\\cdot\\overrightarrow{a}=-2\\alpha+4\\beta$。
解方程可得：
$\\alpha=-\\sqrt{2}+2$，$\\beta=\\frac{3\\sqrt{2}+3}{2}$。

题目二

已知$\\overrightarrow{a}=(1,2,3)$，$\\overrightarrow{b}=(-1,2,1)$，$\\overrightarrow{c}=(1,-1,\\alpha)$，其中$\\overrightarrow{a}$和$\\overrightarrow{b}$不共面，$\\overrightarrow{c}$与$\\overrightarrow{a},\\overrightarrow{b}$都不共线，求$\\alpha$。
解答： 由于$\\overrightarrow{a}$和$\\overrightarrow{b}$不共面，所以$\\overrightarrow{a}\imes\\overrightarrow{b}\ eq\\overrightarrow{0}$。
由于$\\overrightarrow{c}$与$\\overrightarrow{a},\\overrightarrow{b}$都不共线，所以$\\overrightarrow{c}\\cdot(\\overrightarrow{a}\imes\\overrightarrow{b})\ eq0$。
解方程可得：
$\\alpha=1$。

数列

题目一

已知数列$\\{a_n\\}$的通项公式为$a_n=n^2-3n+2$，求该数列的前$n$项和$S_n$。
解答： $S_n=\\sum_{i=1}^n a_i=\\sum_{i=1}^n (i^2-3i+2)=\\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\\frac{3n(n+1)}{2}+n$。

题目二

已知数列$\\{a_n\\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\\frac{1+a_n}{2}$，求$\\lim_{n\o\\infty}a_n$。
解答： 设该极限存在且为$L$，则有$L=\\frac{1+L}{2}$，所以$L=1$。

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